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如圖, 三角形 ABC
令 邊長BC = a . 邊長CA = b, 邊長AB = c
夾角 ∠CAB = α , ∠ABC = β , ∠BCA = γ
則存在:
a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos(α) b2 = c2 + a2 - 2 * c * a * cos(β) c2 = a2 + b2 - 2 * a * b * cos(γ)
這就是三角函數中著名的餘弦定理.
餘弦定理證明 - Cosine Theorem
如上圖, 將 點-C 垂直投影至 AB 直線上, 投影的點將 線段-AB 分為兩段, 前面一段長度是 b * cos(α) , 後面一段是 a * cos(β) .
因此,
c = b * cos(α) + a * cos(β)
c 不為 0, 等號兩邊同時乘以 c =>
c2 = b * c * cos(α) + a * c * cos(β) ............ ①
同理可得
a2 = c * a * cos(β) + b * a * cos(γ) ............ ② b2 = b * c * cos(α) + a * b * cos(γ) ............ ③
② + ③
a2 + b2 = 2 * a * b * cos(γ) + b * c * cos(α) + a * c * cos(β)
=>
a2 + b2 = 2 * a * b * cos(γ) + ( b * c * cos(α) + a * c * cos(β) )
紅字的部分, 依據 ① 替換 =>
a2 + b2 = 2 * a * b * cos(γ) + c2
移項
c2 = a2 + b2 - 2 * a * b * cos(γ)
同理可證
a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos(α) b2 = c2 + a2 - 2 * c * a * cos(β)
餘弦定理有兩種形式:
形式 I
a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos(α) b2 = c2 + a2 - 2 * c * a * cos(β) c2 = a2 + b2 - 2 * a * b * cos(γ) 對邊平方 = 鄰邊平方和 - 2 * (鄰邊乘積 * cos(α))
形式 II: ( 已知三角形 3邊長 a, ,b, c , 求 ∠α, ∠β, ∠γ )
b2 + c2 - a2
cos(α) = ________________
2 * b * c
c2 + a2 - b2
cos(β) = ________________
2 * c * a
a2 + b2 - c2
cos(γ) = ________________
2 * a * b
cos(α) = (鄰邊平方和 - 對邊平方) / (2 * 鄰邊乘積)
畢氏定理
上述餘弦定理, 令 γ = 90° 也就是 π/2
c2 = a2 + b2 - 2 * a * b * cos(γ)
cos(π/2) = 0
=>
γ = (π/2), 直角三角形 c2 = a2 + b2
這就是直角三角中著名的畢氏定理.
a2 = b2 + c2 => α 直角 a2 < b2 + c2 => α 銳角 a2 > b2 + c2 => α 鈍角
平行四邊形定理 - Parallelogram Theorem
平行四邊形各邊的平方和等於對角線的平方和.
證明:
設四邊形 ABCD 為一平行四邊形.
在△ABC 中, 根據餘弦定理. 得
__2 __2 __2 __ __ AC = AB + BC - 2 * AB * BC * cos(∠ABC) ... (1)
在△BCD 中, 根據餘弦定理. 得
__2 __2 __2 __ __ BD = BC + CD - 2 * BC * CD * cos(∠BCD) ... (2)
因為四邊形 ABCD 為平行四邊形, AB = CD , AD = BC, 又∠ABC 與∠BCD 互補, 所以 cos (∠ABC) = - cos (∠BCD)
將(1) + (2)兩式相加﹐即可得
__2 __2 __2 __2 __2 __2 __2 __2 AC + BD = AB + BC + CD + DA = 2 * (AB + BC )
直角三角形邊角關係, sin(x), cos(x)
商數關係
tan(α) = sin(α) / cos(α)
sin(α) = 對 / 斜 cos(α) = 鄰 / 斜 tan(α) = 對 / 鄰 = sin(α) / cos(α)
直角坐標系
Y 座標 = h * sin(α) = AB 投影在 Y軸上的長度 X 座標 = h * cos(α) = AB 投影在 X軸上的長度 XY 斜率 = Y / X = cos(α) / sin(α) = tan(α) 當 h = 1 , 0 <= α < (π/2) 時, sin(α) = Y 座標 < 1 , cos(α) = X 座標 < 1, tan(α) = XY 斜率 如上圖 因 b < h => (a / b) > (a / h) => tan(α) > sign(α) tan(α) 永遠大於 sig(α) 下圖說明為何 tan(α) 永遠大於 sig(α):
當 α >= 0, 且 α < (π/2), 0 <= sin(α) < 1 0 <= cos(α) < 1 0 <= tan(α) 當 α 趨近 (π/2) 時, tan(α) 趨近無窮大
當 α >= 0, 且 α < (π/2), 由圖形得知 sin(α) 遞增, cos(α) 遞減, tan(α) 遞增 當 α < π/4 時, b > a => sin(α) < cos(α) 當 α > π/4 時, b > a => sin(α) > cos(α) 當 α = π/4 時, b = a => sin(α) = cos(α)
π 是什麼? 圓的周長/直徑. π ~= 3.14159 半徑為 1 的圓, 它的周長 = 2π 半徑為 1 的圓, 圓心O, 其上任意兩點A,B 弧長 (弳度量) , 我們用它來測量角度∠AOB ° 弳度量 --------------- 360° = 2π 180° = π 90° = π/2 60° = π/3 45° = π/4 30° = π/6 ... --------------- 上圖, 假設 x = π/6 _ PQ = Y 座標 = sin(π/6) = 1/2 = 0.5 _ OQ = X 座標 = cos(π/6) = √3/2 ~= 0.8660254 因此, 關於角度, 為什麼要用弳度量? 關於三角形, 為什麼要用 sin cos 這些符號, 經過上述說明了以後, 原因很明顯. 再問 π 是什麼? 你可以回答: 180°. 原來 π 就是張開雙臂, 從我的右手看至我的左手.
餘角關係
當 0 <= α <= (π/2) sin(π/2 - α) = cos(α) cos(π/2 - α) = sin(α)
倒數關係
sin(α) = 1 / csc(α) cos(α) = 1 / sec(α) cot(α) = 1 / tan(α)
平方關係
sin2(α) + cos2(α) = 1
特殊角
廣義角的基本性質
逆時針旋轉 90°
sin(π/2 + α) = cos(α) 逆時針旋轉 90°, Y座標 sin(α) 變成 cos(α) cos(π/2 + α) = -sin(α) 逆時針旋轉 90°, X座標 cos(α) 變成 -sin(α)
對稱 Y 軸
sin(π - α) = sin(α) 對稱Y軸, Y座標不變 cos(π - α) = -cos(α) 對稱Y軸, X座標加負號
對稱圓心
sin(π + α) = -sin(α) 對稱圓心, Y座標加負號 cos(π + α) = -cos(α) 對稱圓心, X座標加負號
負角公式 (對稱 X 軸)
sin(-α) = -sin(α) 對稱X軸, Y座標加負號 cos(-α) = cos(α) 對稱X軸, X座標不變 tan(-α) = -tan(α)
互為補角
當 θ + φ = π (θ, φ 互為補角) 時, sin(θ) = sin(φ) cos(θ) = -cos(φ)
和角公式
cos(α - β) = sin(α) * sin(β) + cos(α) * cos(β)
如上圖, 作一個單位圓.
△PQR 依據 畢式定理:
__2 __2 __2
PQ = PR + QR
__2
PQ = ( sin(α) - sin(B) )2 + ( cos(β) - cos(α) )2
= sin2(α) + sin2(β) - 2 * sin(α) * sin(β) + cos2(β) + cos2(α) - 2 * cos(β) *cos(α)
= ( sin2(α) + cos2(α) ) + ( sin2(β)+ cos2(β) ) - 2 * sin(α) * sin(B) - 2 * cos(β) * cos(α)
= 1 + 1 - 2 * sin(α) * sin(β) - 2 * cos(β) * cos(α)
= 2 - 2 * (sin(α) * sin(β) + cos(α) * cos(β)) ............ ①
△PQO 依據餘弦定理:
__2 __2 __2 __ __
PQ = OQ + OP - 2 * OQ * OP * cos(α - β)
= 12 + 12 - 2 * 1 * 1 * cos(α - β)
= 2 - 2 * cos(α - β) ............ ②
① = ②
=> 可得
cos(α - β) = sin(α) * sin(β) + cos(α) * cos(β)
上式 β 我們使用 -β 帶入
=>
cos(α + β) = cos(α - (-β)) = sin(α) * sin(-β) + cos(α) * cos(-β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β) => cos(α + β) = cos(α - (-β)) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β)
sin(α + β) = cos(π/2 - (α + β)) = cos((π/2 - α) - β) = cos(π/2 - α) * cos(β) + sin(π/2 - α) * sin(β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) => sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β)
上式 β 我們使用 -β 帶入
=>
sin(α - β) = sin(α + (-β)) = sin(α) * cos(-β) + cos(α) * sin(-β) = sin(α) * cos(β) - cos(α) * sin(β) => sin(α - β) = sin(α) * cos(β) - cos(α) * sin(β)
=> 和角公式
sin(α + β) = sin(α) * cos(β) + cos(α) * sin(β) ............ ①
sin(α - β) = sin(α) * cos(β) - cos(α) * sin(β) ............ ②
cos(α + β) = cos(α) * cos(β) - sin(α) * sin(β) ............ ③
cos(α - β) = sin(α) * sin(β) + cos(α) * cos(β) ............ ④
tan(α) + tan(β)
tan(α + β) = _____________________
1 - tan(α) * tan(β)
tan(α) - tan(β)
tan(α - β) = _____________________
1 + tan(α) * tan(β)
和角公式 ① ② ③ ④, 請把它們背起來; 務必滾瓜爛熟.
積化和差
由上述 ①+-② 可得前兩個公式，③-+④ 可得後兩個公式
① + ②
2 * sin(α) * cos(β) = sin(α + β) + sin(α - β)
① - ②
2 * cos(α) * sin(β) = sin(α + β) - sin(α - β)
③ - ④
2 * cos(α) * cos(β) = cos(α + β) + cos(α - β)
③ + ④
2 * sin(α) * sin(β) = cos(α + β) - cos(α - β)
積化和差公式 我覺得可以不必背誦; 只要由上述和角公式 ①+-②, ③-+④ 就可以得到 積化和差公式.
和差化積
令 α + β = x
α - β = y
移項後
α = (x + y) / 2
β = (x - y) / 2
代入上述 4個式子:
x + y x - y
sin(x) + sin(y) = 2 * sin(_______) * cos(_______)
2 2
x + y x - y
sin(x) - sin(y) = 2 * cos(_______) * sin(_______)
2 2
x + y x - y
cos(x) - cos(y) = 2 * cos(_______) * cos(_______)
2 2
x + y x - y
cos(x) + cos(y) = -2 * sin(_______) * cos(_______)
2 2
微分
sin(x) / x 微分
前面說到:
當 0 < θ < (π/2) 時 0 < θ < (π/2) sin(θ) < θ < tan(θ) 當 0 > θ > (-π/2) 時 => 當 0 < -θ < (π/2) 時 sin(-θ) < -θ < tan(-θ) -sin(θ) < -θ < -tan(θ) | sin(θ) | < | θ | < | tan(θ) |
因此
當 0 < θ < (π/2) 時:
sin(θ) < θ < sin(θ) / cos(θ) => 1 < θ / sin(θ) < 1 /cos(θ) => 1 > sin(θ) / θ > cos(θ)
當 0 > θ > (-π/2) 時:
0 < -θ < (π/2) 1 > sin(-θ) / (-θ) > cos(-θ) => 1 > -sin(θ) / (-θ) > cos(θ) => 1 > sin(θ) / θ > cos(θ)
因為
lim cos(θ) = 1 θ->0
依據夾擠定理
lim (θ/sin(θ)) = 1 θ->0
因此
y = f(x) = sin(x) / x dy/dx = f`(x) = 1
sin(x) 微分
y = f(x) = sin(x) x1 > x0 且 x1 趨近於 x0 dy/dx = (sin(x1) - sin(x0)) / (x1-x0) 令 α=(x1+x0)/2 β=(x1-x0)/2 dy/dx = 2 * cos(α) * sin(β) / (x1-x0) = 2 * cos(α) * sin(β) / (2*β) = cos(α) * (sin(β) / β) 因 β 趨近於 0+ => (sin(β) / β) 趨近於 1 => dy/dx = cos(α) = cos(x0) dy/dx 在 x0 上的值是 cos(x0) 故 dy/dx = f`(x) = cos(x)
y = f(x) = sin(x)
微分 =>
f`(x) = cos(x)
f``(x) = -sin(x)
f```(x) = -cos(x)
f````(x) = sin(x)
....
n n (n)
dy / dx = f (x) = sin(x) ,if n ≡ 0
cos(x) ,if n ≡ 1
-sin(x) ,if n ≡ 2
-cos(x) ,if n ≡ 3
cos(x) 微分
y = f(x) = cos(x)
微分 =>
f`(x) = -sin(x)
f``(x) = -cos(x)
f```(x) = sin(x)
f````(x) = cos(x)
....
n n (n)
dy / dx = f (x) = cos(x) ,if n ≡ 0
-sin(x) ,if n ≡ 1
-cos(x) ,if n ≡ 2
sin(x) ,if n ≡ 3
泰勒展開式
sin(x) 在 x=0 附近的 泰勒展開式
sin(x) = x - (x3 / 3!) + (x5 / 5!) - (x7 / 7!) + ... = ∞ x2*n+1 Σ ______________ 0 (2 * n + 1)!
cos(x) 在 x=0 附近的 泰勒展開式
cos(x) = d sin(x) / dx = 1 - (x2 / 2!) + (x4 / 4!) - (x6 / 6!) + ... = ∞ x2*n Σ ___________ 0 (2 * n)!
正弦定理
如上圖:
三角形 ACB, ∠A 對邊為 a, ∠B 對邊為 b, ∠C 對邊為 c
R 為 △ACB 的外接圓, 則
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2 * R
首先我們把 △ACB 的外接圓畫出
接著從 A點朝著這個外接圓的圓心畫出一條直線連接到這個外接圓, 接點為 D.
∠ABD必定是直角 (因為通過外接圓圓心)
同時
∠ACB = ∠ADB (因為 C, D 同屬於這個外接圓)
__ __ sin(D) = AB / AD = c / (2 * R) = sin(C) => 2 * R = sin(C) / c
同理
2 * R = sin(A) / a
2 * R = sin(B) / b
=>
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2 * R
三角形面積
三角形 ACB, ∠A 對邊為 a, ∠B 對邊為 b, ∠C 對邊為 c
△ACB 面積 = 1/2 * b * c * sin(A) = 1/2 * c * a * sin(B) = 1/2 * a * b * sin(C)
海龍公式 Heron Formula
如上圖, 三角形ABC 邊長分別為 a,b,c , 則該三角形的面積可由以下公式求得: ___________________________ △ABC面積 Area = √ s * (s-a) * (s-b) * (s-c) , 其中 s = (a + b + c) / 2
證明:
依據餘弦定理: a2 = b2 + c2 - 2 * b * c * cos(θ) 移項 => cos(θ) = (b2 + c2 - a2 ) / (2 * b * c) ......... ①
△ABC面積 Area = 1/2 * (b * sin(θ)) * c = (b * c * sin(θ)) / 2 = ______________ ____________________________ = 1/2 * b * c * √ (1 - cos2(θ)) = 1/2 * b * c * √(1 + cos(θ)) * (1 - cos(θ)) cos(θ) 以 ①式 代入 => __________________________________________________________________________ = 1/2 *b*c * √ (1 + (b2 + c2 - a2 ) / (2 * b * c)) * (1 - (b2 + c2 - a2 ) / (2 * b * c)) ____________ ___________________________________________________________________________ = √ b2 * c2 / 4 * √ ( (2*b*c+ b2 + c2 - a2) / (2*b*c) ) * ( (2*b*c- b2 - c2 + a2 ) / (2*b*c) ) _______________________________________________________ = √ (b2 + 2*b*c + c2 - a2 ) * (a2 - b2 + 2*b*c - c2 ) / 16 ______________________________________ = √ ((b+c)2 - a2)) * (a2 - (b-c)2 ) / 16 _____________________________________________ = √ (b+c+a) * (b+c-a) * (a-b+c) * (a+b-c) / 16 _______________________________________________________ = √ ((a+b+c)/2) * ((b+c-a)/2) * ((a+c-b)/2) * ((a+b-c)/2) 令 s = (a + b + c) / 2 => ___________________________ △ABC面積 Area = √ s * (s-a) * (s-b) * (s-c)
結論
三角函數重要的定理, 重要的公式筆者在此都已經用最簡單的方法推導給諸位讀者看了. 其中最重要的當然是餘弦定理. 瞭解這些公式的推導以後, 再來背誦這些公式更能事半功倍.
Email: jasonc@mail2000.com.tw . 請尊重原創, 使用圖文時載明出處. 謝謝.
-
(Finished)
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