隨機變數 - Random variable
在多數涉及到機率的應用問題中, 通常我們只關心某一個或少數幾個特定方面實驗的結果. 譬如說當我們擲一雙骰子, 通常我們有興趣的只有點數的總和, 而不是個別的點數; 又譬如說當我們取樣量產的燈泡時, 我們關心的是燈泡耐久力或是亮度而不是它們的價格. 當我們隨機訪問一對已婚的夫婦, 我們有興趣的是他們的年收入總和, 而不是他們結婚幾年或是他們的總資產. 在這些例子中, 我們有興趣的是這些隨機實驗結果關聯的數字, 這些數字便隱含了所謂的 "隨機變數" 這樣的概念.
為了更明確地說明隨機變數這個概念, 讓我們考慮上圖, 它描繪了當我們進行投擲一對骰子, 這個實驗的樣本空間. 假設每一個可能的結果其機率都是 1/36. 值得注意的是, 上圖中每一個點的右上方, 聯結了一個數字, 譬如數字 2聯結到 (1, 1) 這個點, 數字 6 到 (1, 5) , 數字 8 到點 (6, 2) , 11 到點 (5, 6) , ... 等等. 很明顯地我們把一個隨機變數關聯到每一個點, 換言之就是擲一對骰子的點數和. 因為, "關聯一個樣本空間裡的每一個元素到一個數字", 這個句子是 "定義一個函數涵蓋一個樣本空間裡面的所有元素" 的另一個說法, 所以讓我們作以下的定義:
Definition:
假如 S是一個用機率測量的樣本空間, X是一個實數函數定義於樣本空間 S裡的每一個元素, 則
我們稱 X是一個隨機變數.
機率分配 - Probability distributions
繼續前面的例子, 我們列出這樣本空間裡面的所有元素如下:
| Elements of sample space | Probability P(X = x) |
x |
| (1, 1) | 1/36 | 2 |
| (1, 2), (2, 1) | 2/36 | 3 |
| (1, 3), (2, 2), (3,1) | 3/36 | 4 |
| (1, 4), (2, 3), (3 ,2), (4, 1) | 4/36 | 5 |
| (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) | 5/36 | 6 |
| (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) | 6/36 | 7 |
| (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) | 5/36 | 8 |
| (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3) | 4/36 | 9 |
| (4, 6), (5, 5), (6, 4) | 3/36 | 10 |
| (5, 6), (6, 5) | 2/36 | 11 |
| (6,6) | 1/36 | 12 |
我們觀察到隨機變數 X = 9 時, 所形成的樣本空間 S的子集合如下:
{ (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6) } .
它的機率我們表示如下: P(X = 9) = 4/36
因此 X= 9 被解譯為樣本空間 S裡面子集合, 其點數總和為 9.
更一般化來說, X = x 表示, 樣本空間 S裡面子集合, 其點數總和為 x ; f(x) 是函數在 x 這一點的值. 我們把這一個例子畫成機率分佈圖如下: 值得注意的是藍色長條形的寬度是 1, 藍色圖的面積等於 1.
在這個例子
6 - |x - 7|
f(x) = ________________
36 for x = 2, 3, ..., 12
Definition:
假如 X是一個離散的隨機變數, 對於每一個 x在 X範圍內, 函數 f在 x這一點, f(x) = P(X=x),
則函數 f 我們稱它為 X 的機率分配.
一個函數能成為隨機變數 X 的機率分配, 假如, 並且只有這個假如, 隨機變數 X 在 x 的值, f(x), 滿足下列的條件: 1. f(x) ≧ 0, 對於每一個 x在函數的定義域. 2. ∑ f(x) = 1, 在 X範圍內的所有 x, 它們的機率總和是 1. x
Example: Find a formula for the probability distribution of the total number of heads obtained in four tosses of a balanced coin?
Solution:
H: head
T: tail
| Elements of sample space | Probability | x |
| HHHH | 1/16 | 4 |
| HHHT, HHTH, HTHH, THHH | 4/16 | 3 |
| HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH | 6/16 | 2 |
| HTTT, THTT, TTHT, TTTH | 4/16 | 1 |
| TTTT | 1/16 | 0 |
P(X = 0) = 1/16 P(X = 1) = 4/16 P(X = 2) = 6/16 P(X = 3) = 4/16 P(X = 4) = 1/16 Observing that the numerators of these five fractions, 1, 4, 6, 4, 1, are 4 4 4 4 4 the binomial coefficients C , C , C , C , and C 0 1 2 3 4 C(4, x) f(x) = _________ 16 for x = 0, 1, 2, 3, 4.
Example: Check whether the function given by the following,
x + 2 f(x) = _________ 25 for x = 1, 2, 3, 4, 5,
can serve as the probability distribution of a discrete random variable.
Solution:
f(1) = 3/25
f(2) = 4/25
f(3) = 5/25
f(4) = 6/25
f(5) = 7/25
Since these values are all nonnegative and f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(5) = 1.
Thus the given function can serve as the probability distribution of a random
variable have the range {1, 2, 3, 4, 5}.
累積分配函數 - Distribution function
很多時候, 我們有興趣的是一個隨機變數小於或等於某個實數的機率. 我們用 F(x) = P(X ≦ x) 來表示一個隨機變數 X 的累積分配函數. 累積分佈函數 (Cumulative distribution function) , 又叫分佈函數 (Distribution function) , 是機率密度函數的積分, 能完整描述一個實隨機變數X的機率分佈. 一般以大寫「CDF」標記.
假如 X 是一個離散的隨機變數, 函數 F(x) 表示如下: F(x) = P(X ≦ x) = ∑ f(t) for -∞ < x < ∞ t≦k 其中 f(t) 是 X 在 t這一點的機率分配值, 則我們稱 F(x) 叫做 X的分配函數 (Distribution function) 或 X 的累積分配 (Cumulative distribution).
一個離散型隨機變數 X的累積分配函數之值滿足下列條件: 1. F(-∞) = 0 and F(∞) = 1; 2. 假如 (a < b), 則對於任意實數 a, b, F(a) ≦ F(b) .
Example: Find the distribution function of the total number of heads obtained in four tosses of a balanced coin.
Solution:
f(0) = 1/16
f(1) = 4/16
f(2) = 6/16
f(3) = 4/16
f(4) = 1/16
F(0) = f(0) = 1/16
F(1) = f(0) + f(1) = 5/16
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 11/16
F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 15/16
F(4) = 1
Hence, the distribution function is given by
F(x) = 0, for x < 0,
1/16, for 0 ≦ x < 1,
5/16, for 1 ≦ x < 2,
11/16, for 3 ≦ x < 3,
15/16, for 3 ≦ x < 4,
1, elsewhere
連續的隨機變數 - Continuous random variables
連續型隨機變數是指即在一定區間內變數取值有無限個, 或數值無法一一列舉出來. 舉個例子:
假設我們關心 200公里長的高速公路將會發生車禍的機率 p, 我們有興趣的是在這 200公里裡面某一個位置或是某一段距離發生車禍的機率. 這隨機實驗的樣本空間將包含從 0到 200公里間連續的點. 我們將假設在這 200公里裡面某一區間長度 d, 則這一段區間 d 會發生車禍的機率是 (d/200) * p. 表示如下:
P(X = d) = (d/200) *p ,
隨機變數 X 定義域範圍將是 1~200這個區間內的實數.
再舉一個例子, 假設我們關切一個瓶裝飲料產品裡面的飲料量, 這瓶裝飲料在生產線上注入 16盎司的飲料. 很明顯的每一瓶飲料的量會有些許的差異,
16.0328885336373
15.846240903126
16.0206487022137
15.8678713820372
16.0717630659227
16.0221448529943
16.1654404217876
16.0623311065541
15.9482009683825
15.8807058348855
.
, 事實上這是一個連續的隨機變數. 假如上面這些數字取小數點以下 1位四捨五入, 機率分佈 (長條圖) 看起來會是這樣,
取小數點以下 2位四捨五入, 機率分佈 (長條圖) 看起來會是,
...
取小數點以下 12位四捨五入, 機率分佈會接近一個平滑的曲線.
機率密度函數 - Probability density function
事實上, 在連續型的例子看機率的定義, 它假定對於每一個隨機變數, 存在一個函數, 叫做 "機率密度函數 (probability density function) " . 在 X軸區間裡, 曲線以下的面積聯結到相對應的機率.
Definition:
函數 f(x) 定義於實數集合之上, 若且為若 (if and only if) ,
b
P(a ≦ X ≦ b) = ∫ f(x) * dx
a 對於任意實數常數 a, b, a ≦ b.
則我們稱 f(x)為連續隨機變數 X的機率密度函數 (Probability density function).
函數 f(x)能成為連續型隨機變數 X的機率密度函數, 只有在 f(x) 滿足下列條件:
1. f(x) ≧ 0 對於 -∞ < x < ∞
∞
2. ∫ f(x) * dx = 1
-∞
假如 X是一個連續型隨機變數, a, b是實數且 a ≦ b, 則 P(a ≦ X ≦ b) = P(a ≦ X < b) = P(a < X ≦ b) = P(a < X < b)
假如 X是一個連續型隨機變數, f(x) 是這個連續型隨機變數的機率密度函數, a, b是實數
且 a ≦ b, 則
b
P(a ≦ X ≦ b) = ∫ f(x) * dx
a
當 b→a
b
P(X = a) = lim ∫ f(x) * dx = 0
b→a a
Example: 假如隨機變數 X, 它的機率密度函數如下:
k * e-3*x for x > 0
f(x) = {
0 for x ≦ 0
(1). 請找出 k的值為何?
(2). 求隨機變數 0.5 ≦ X ≦1 的機率.
Solution:
(1).
∞ ∞
∫ f(x) * dx = ∫ k * e-3*x * dx
-∞ 0
| t
e-3*x |
= k * lim _______ |
t->∞ -3 | 0
k
= ___ = 1
3
=>
k = 3
(2).
1
P(0.5 ≦ X ≦ 1) = ∫ 3 * e-3*x * dx
0
= -e-3 + e-1.5 ≈ 0.173343092
如下表黃色區域之總和.
| x | f(x) | interval (b, a) | P(a ≦ x < b) | |
| 0.0 | 0 | 0.1~0.0 | 0.259181779 | |
| 0.1 | 2.222454662 | 0.2~0.1 | 0.192006585 | |
| 0.2 | 1.646434908 | 0.3~0.2 | 0.142241976 | |
| 0.3 | 1.219708979 | 0.4~0.3 | 0.105375448 | |
| 0.4 | 0.903582636 | 0.5~0.4 | 0.078064052 | |
| 0.5 | 0.66939048 | 0.6~0.5 | 0.057831272 | |
| 0.6 | 0.495896665 | 0.7~0.6 | 0.04284246 | |
| 0.7 | 0.367369285 | 0.8~0.7 | 0.031738475 | |
| 0.8 | 0.27215386 | 0.9~0.8 | 0.023512441 | |
| 0.9 | 0.201616538 | 1.0~0.9 | 0.017418444 | |
| 1.0 | 0.149361205 | 1.1~1.0 | 0.012903901 | |
| 1.1 | 0.110649502 | 1.2~1.1 | 0.009559445 | |
| 1.2 | 0.081971167 | 1.3~1.2 | 0.007081811 | |
| 1.3 | 0.060725734 | 1.4~1.3 | 0.005246335 | |
| 1.4 | 0.04498673 | 1.5~1.4 | 0.00388658 | |
| 1.5 | 0.03332699 | 1.6~1.5 | 0.002879249 | |
| 1.6 | 0.024689241 | 1.7~1.6 | 0.002133 | |
| 1.7 | 0.01829024 | 1.8~1.7 | 0.001580166 | |
| 1.8 | 0.013549743 | 1.9~1.8 | 0.001170615 | |
| 1.9 | 0.010037896 | 2.0~1.9 | 0.000867213 | |
| 2.0 | 0.007436257 | 2.1~2.0 | 0.000642447 |
機率密度函數:
機率分配:
連續型隨機變數的分配函數 - Distribution function for the continuous random variable
很多時候, 我們有興趣的是一個隨機變數小於或等於某個實數的機率. 我們用 F(x) = P(X ≦ x) 來表示一個隨機變數 X 的累積分配函數.
Definition:
假如 X 是一個連續的隨機變數, 它在 t 的機率密度是 f(t), 則函數 x F(x) = P(X ≦ x) = ∫ f(t) * dt for -∞ < x < ∞ -∞ 稱為 X的分配函數或是稱為 X的累積分配.
假如 f(x)以及 F(x) 是隨機變數 X在 x的機率密度函數以及累積分配函數之值, 則 P(a ≦ X ≦ b) = F(b) - F(a) 對於任意實數 a ≦ b 且 dF(x) f(x) = _______ dx 導數存在.
Example: 假如隨機變數 X, 它的機率密度函數如下:
3 * e-3*x for x > 0
f(x) = {
0 for x ≦ 0
(1). 請找出 X的分配函數?
(2). 求隨機變數 0.5 ≦ X ≦ 1 的機率.
Solution:
(1).
∞ x
∫ f(t) * dt = ∫ 3 * e-3*x * dt
-∞ 0
| x
= e-3*t |
| 0
= 1 - e-3*x
因為當 x ≦ 0 時, F(x) = 0, 所以我們如下表示
0 當 x ≦ 0,
F(x) = {
1 - e-3*x 當 x > 0.
(2). P(0.5 ≦ X ≦ 1) = F(1) - F(0.5) = (1 - e-3 ) - (1 - e-1.5 ) ≈ 0.173343092
| interval (b, a) | P(a ≦ t < b) | F(t = b) |
| 0.1~0.0 | 0.259181779 | 0.259181779 |
| 0.2~0.1 | 0.192006585 | 0.451188364 |
| 0.3~0.2 | 0.142241976 | 0.59343034 |
| 0.4~0.3 | 0.105375448 | 0.698805788 |
| 0.5~0.4 | 0.078064052 | 0.77686984 |
| 0.6~0.5 | 0.057831272 | 0.834701112 |
| 0.7~0.6 | 0.04284246 | 0.877543572 |
| 0.8~0.7 | 0.031738475 | 0.909282047 |
| 0.9~0.8 | 0.023512441 | 0.932794487 |
| 1.0~0.9 | 0.017418444 | 0.950212932 |
| 1.1~1.0 | 0.012903901 | 0.963116833 |
| 1.2~1.1 | 0.009559445 | 0.972676278 |
| 1.3~1.2 | 0.007081811 | 0.979758089 |
| 1.4~1.3 | 0.005246335 | 0.985004423 |
| 1.5~1.4 | 0.00388658 | 0.988891003 |
| 1.6~1.5 | 0.002879249 | 0.991770253 |
| 1.7~1.6 | 0.002133 | 0.993903253 |
| 1.8~1.7 | 0.001580166 | 0.995483419 |
| 1.9~1.8 | 0.001170615 | 0.996654035 |
| 2.0~1.9 | 0.000867213 | 0.997521248 |
| 2.1~2.0 | 0.000642447 | 0.998163695 |
雙變量及多變量機率分配 - Bivariate distributions and multivariate distributions
本篇文章的開頭我們用了一個例子, 考慮隨機變數 X, 擲一對骰子, 它們的點數總和. 但是如果我們考慮隨機變數 Y擲一對骰子, 它們的點數乘積呢? X與Y是同樣的樣本空間. 貼近生活一點, 考慮一個國小, 我們隨機選 354位學生, 這個學校的校長可能比較關心他們的 I.Q. 然而學校的護士則比較關心他們的體重; 學校的老師則比較關心他們的缺席.
我們先開始討論雙變量機率分配, 之後討論多變量機率分配. 假如 X與 Y是離散型隨機變數, 我們用下面的符號來表示, 隨機變數 X, Y, 分別在 X = x, Y = y 條件下之機率.
P(X = x, Y = y)
Example: Two caplets are selected at radom from a bottle contauning three asprin, two sedative, and four laxative caplets. If X and Y are, respectively, the numbers of asprin and sedative caplets included among the two caplets drawn from the bottle, find the probabilities associated with all possible pairs of values of X and Y.
Solution:
Total number of ways is C(9, 2) = 36. The possible (x,y) pair are (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) (0,2), (2,0) ; in case (1,0) is C(3,1) * C(2, 0) * C(4, 1) = 12; in case (0,0) is C(3,0) * C(2,0) * C(4,2) = 6; in case (0,1) is C(3,0) * C(2,1) * C(4,1) = 8; in case (1,1) is C(3,1) * C(2,1) * C(4,0) = 6; in case (0,2) is C(3,0) * C(2,2) * C(4,0) = 1; in case (2,0) is C(3,2) * C(2,0) * C(4,0) = 3. we obtain the probabilities in the following table:C(3, x) * C(2, y) * C(4, 2-x-y) f(x, y) = ________________________________________ C(9, 2) for x=0,1,2; y=0,1,2; and 0 ≦ (x + y) ≦ 2.
Definition:
假如 X, Y是離散型隨機變數, 對於每一對分別在樣本空間 X, Y裡面的 x, y常數,
函數 f(x, y) = P(X = x, Y = y) , 則
我們稱函數 f(x, y) 是 X, Y 的聯合機率分配 (joint probability distribution).
一個雙變量函數能夠成為一對離散隨機變數的聯合機率分配, 若且為若, 只有在這個函數滿足 下列條件: 1. f(x, y) ≧ 0, 對於每一對分別在樣本空間 X, Y裡面的 x, y常數. 2. ∑ ∑ f(x, y) = 1 x y
Example: Determine the value of k for which the function given by
f(x, y) = k * x * y for x = 1,2,3; y = 1,2,3
can serve as a joint probability distribution.
f(1,1) = k f(1,2) = 2 * k f(1,3) = 3 * k f(2,1) = 2 * k f(2,2) = 4 * k f(2,3) = 6 * k f(3,1) = 3 * k f(3,2) = 6 * k f(3,3) = 9 * k k + 2*k + 3*k + 2*k + 4*k + 6*k + 3*k + 6*k + 9*k = 1 k = 1/36
Definition:
假如 X和 Y是離散隨機變量, 則函數
F(x, y) = P(X ≦ x, Y ≦ y) = ∑ ∑ f(s, t)
s≦x t≦y
-∞< x < ∞，-∞ < y < ∞
稱為 X和 Y的聯合分佈函數 (joint distribution function),
或聯合累積分佈 (joint cumulative distribution).
其中 f(s，t) 是 X和 Y於 (s，t) 的聯合概率分配值.
Example: Two caplets are selected at radom from a bottle contauning three asprin, two sedative, and four laxative caplets. If X and Y are, respectively, the numbers of asprin and sedative caplets included among the two caplets drawn from the bottle, find the value of the joint distribution function F(x, y) at (1, 1) .
Solution:
F(1, 1) = P(X ≦ 1, Y ≦ 1) = f(0, 0) + f(0, 1) + f(1, 0) + f(1, 1) = 1/6 + 2/9 + 1/3 + 1/6 = 8/9
Definition:
一個雙變量函數, 以 f(x, y) 表示, 定義於 xy平面, 我們稱它為連續隨機變數
X與 Y的 聯合機率密度函數 (joint probability density function) , 若且為若,
P[(X, Y) ∈ A] = ∫ ∫ f(x, y) * dx * dy 對於 xy平面任意區域 A
A
一個雙變量函數能成為連續隨機變數 X, Y的聯合機率密度函數, 只有它的值, f(x, y),
滿足下條件:
1. f(x, y) ≧ 0 其中, -∞ < x < ∞, -∞ < y < ∞
∞ ∞
2. ∫ ∫ f(x, y) * dx * dy = 1
-∞ -∞
Example: Given the joint probability density function
3/5 * x * (y + x) for 0 < x < 1, 0 < y < 2
f(x, y) = {
0 for x ≦ 0 or x ≧ 1, y ≦ 0 or y ≧ 2
of two random variables X and Y, find P[(X, Y) ∈ A], where A is the region
{(x, y) | 0 < x < 1/2, 1 < y < 2} .
Solution:
P[(X, Y) ∈ A] = P(0 < X < 1/2, 1 < Y < 2)
2 1/2
= ∫ ∫ 3/5 * x (y + x) * dx * dy
1 0
| x=1/2
2 3 * x2 * y 3 * x3 |
= ∫ ( ____________ + ________ ) | * dy
1 10 15 |
| 2
2 3 * y 1 3 * y2 y |
= ∫ ( _______ + ____ ) * dy = ( ________ + ____ ) |
1 40 40 80 40 | 1
= 11 / 80
Definition:
定義: 假如 X, Y是連續型隨機變數, 函數表示如下:
y x
F(x, y) = P( X ≦ x, Y ≦ y) = ∫ ∫ f(s, t) * ds * dt
-∞ -∞
-∞ < x < ∞, -∞ < y < ∞
其中 f(s, t) 是 X, Y 在 (s, t) 的聯合機率密度之值, 則 F(x, y) 稱為
X, Y 的聯合分配函數 (joint distribution function).
Example: If the joint probability density of X and Y is given by
x + y for 0< x < 1, 0 < y < 1
f(x, y) = {
0 elsewhere
find the joint distribution function of these two random variables.
Solution:
If either x < 0 or y < 0, F(x, y) = 0,
Area I:
y x
F(x, y) = ∫ ∫ (s + t) * ds * dt = 1/2 * x*y * (x + y)
0 0
Area II:
y 1
F(x, y) = ∫ ∫ (s + t) * ds * dt = 1/2 * y * (y + 1)
0 0
Area III:
1 x
F(x, y) = ∫ ∫ (s + t) * ds * dt = 1/2 * x * (x + 1)
0 0
Area IV:
1 1
F(x, y) = ∫ ∫ (s + t) * ds * dt = 1
0 0
F(x, y) = { 0 for x ≦ 0 or y ≦ 0
1/2*x*y*(x + y) for 0 < x < 1, 0 < y < 1
1/2*y*(y + 1) for x ≧ 1, 0 < y < 1
1/2*x*(x + 1) for 0 < x < 1, y ≧ 1
1 elsewhere
Example: Find the joint probability density of the two random variable X and Y whose joint distribution is given by
(1 - e-x ) * (1 - e-y ) for x > 0 and y > 0
F(x, y) = {
0 elsewhere
Also use the joint probability density to determine P(1 < X < 3, 1 < Y < 2).
Solution:
Since partial differential yields ∂2 _______ F(x, y) = e-(x+y) ∂x*∂y for x > 0 and y > 0 and 0 elsewhere, we find that the joint probability density of X and Y is given by e-(x+y) for x > 0 and y > 0 f(x, y) = { 0 elsewhere Thus, integration yields 2 3 -(x+y) ∫ ∫ e * dx * dy = (e-1 - e-3 ) * (e-1 - e-2 ) 0 0 = e-2 - e-3 - e-4 + e-5 ≈ 0.074 for P(1 < X < 3, 1 < Y < 1).
Example: If the joint probability distribution of three discrete random variables X, Y and Z is given by
f(x, y, z) = (x + y) * z / 63 for x = 1,2 ; y = 1,2,3; z = 1,2
find P(X = 2, Y + Z ≦ 3).
Solution:
P(X = 2, Y + Z ≦ 3) = f(2, 1, 1) + f(2, 1, 2) + f(2, 2, 2)
= 3/63 + 6/63 + 4/63
13
= ____
63
Example: If the trivaiiate probability density of X1, X2, and X3 is given by
(X1 + X2) * e-X3 for 0 < X1 < 1, 0 < X2 < 1, X3 > 0
f(X1, X2, X3) = {
0 elsewhere
find P[(X1, X2, X3) ∈ A], where A is the rigion
{(X1, X2, X3)| 0 < X1 < 1/2, 1/2 < X2 < 1, X3 < 1}.
Solution:
P[(X1, X2, X3) ∈ A] = P(0 < X1 < 1/2, 1/2 < X2 < 1, X3 < 1)
1 1 1/2
= ∫ ∫ ∫ (X1 + X2) * e-X3 * dX1*dX2*dX3
0 1/2
1 1 1 X2
= ∫ ∫ (___ + ____) * e-X3 * dX2*dX3
0 1/2 8 2
1 1
= ∫ ___ * e-X3 * dX3
0 4
1
= ___ * (1 - e-1 ) ≈ 0.158
4
邊際分配 - Marginal distributions
Example: Two caplets are selected at radom from a bottle contauning three asprin, two sedative, and four laxative caplets. If X and Y are, respectively, the numbers of asprin and sedative caplets included among the two caplets drawn from the bottle, find the probabilities distribution of X alone and that of Y alone.
Solution:
2 5/12 for x = 0
g(x) = ∑ f(x, y) = { 1/2 for x = 1
y=0 1/12 for x = 2
of the probability distribution of X.
2 7/12 for y = 0
h(y) = ∑ f(x, y) = { 7/18 for y = 1
x=0 1/26 for y = 2
of the probability distribution of Y.
Definition:
假如 X和 Y是離散隨機變數並且 f(x, y)是它們在 (x, y) 這一點的聯合機率分配值, 若 g(x) = ∑ f(x, y) y 其中每一個 x位於 X隨機變數的範圍中, 則我們稱 g(x) 是 X 的邊際分配 (Marginal distribution). 若 h(y) = ∑ f(x, y) x 其中每一個 y位於 Y隨機變數的範圍中, 則我們稱 h(y) 是 Y 的邊際分配 (Marginal distribution).
Definition:
假如 X和 Y是連續隨機變數並且 f(x, y)是它們在 (x, y) 這一點的聯合機率密度值,
若
∞
g(x) = ∫ f(x, y) * dy
-∞
其中 -∞ < x < ∞,
則我們稱 g(x) 是 X的邊際密度 (Marginal density).
若
∞
h(y) = ∫ f(x, y) * dx
-∞
其中 -∞ < y < ∞,
則我們稱 g(x) 是 Y的邊際密度 (Marginal density).
Example: Given the joint probability sensity
2/3 * (x + 2 * y) for 0 < x < 1, 0 < y < 1
f(x, y) = {
0 elsewhere,
find the marginal densities of X and Y.
Solution:
∞ 1
g(x) = ∫ f(x, y) * dy = ∫ 2/3 * (x + 2 * y) * dy = 2/3 * (x + 1)
-∞ 0
2/3 * (x + 1) for 0 < x < 1
g(x) = {
0 elsewhere
∞ 1
h(y) = ∫ f(x, y) * dx = ∫ 2/3 * (x + 2 * y) * dx = 1/3 * (1 + 4 * y)
-∞ 0
1/3 * (1 + 4 * y) for 0 < y < 1
h(y) = {
0 elsewhere
條件分配 - Conditional distributions
Definition:
假如 X和 Y是離散隨機變數, f(x, y)是它們在 (x, y) 這一點的聯合機率分配值,
並且 h(y) 值是隨機變數 Y在 y的邊際分配, 函數
f(x, y)
f(x | y) = _________ h(y) ≠ 0
h(y)
其中每一 x位於 X範圍內, 則函數 f(x | y) 我們稱為 X相對於 Y的條件分配
(conditional distribution).
假如 X和 Y是離散隨機變數, f(x, y)是它們在 (x, y) 這一點的聯合機率分配值,
並且 g(x) 值是隨機變數 X在 x的邊際分配, 函數
f(x, y)
w(y | x) = _________ g(x) ≠ 0
g(x)
其中每一 y位於 Y範圍內, 則函數 w(y | x) 我們稱為 Y相對於 X的條件分配
(conditional distribution).
Definition:
假如 X和 Y是連續隨機變數, f(x, y)是它們在 (x, y) 這一點的聯合機率密度值,
並且 h(y) 值是隨機變數 Y在 y的邊際分配值, 函數
f(x, y)
f(x | y) = _________ h(y) ≠ 0
h(y)
其中 -∞ < x < ∞
則函數 f(x | y) 我們稱為 X相對於 Y=y的條件密度 (conditional density).
假如 X和 Y是連續隨機變數, f(x, y)是它們在 (x, y) 這一點的聯合機率密度值,
並且 g(x) 值是隨機變數 X在 x的邊際分配值, 函數
f(x, y)
w(x | y) = _________ g(x) ≠ 0
g(x)
其中 -∞ < y < ∞
則函數 w(x | y) 我們稱為 Y相對於 X=x的條件密度 (conditional density).
Example: Given the joint probability sensity
2/3 * (x + 2 * y) for 0 < x < 1, 0 < y < 1
f(x, y) = {
0 elsewhere,
find the conditional density of X fiven Y=y, and use it to evaluate P(X ≦ 1/2 | Y=1/2).
Solution:
f(x, y) 2/3 * (x + 2*y)
f(x | y) = _________ = _________________
h(y) 1/3 * (1 + 4*y)
2*x + 4*y
= ___________
1 + 4*y
(2*x + 4*y) / (1 + 4*y) for 0 < x < 1
f(x | y) = {
0 elsewhere
1 2*x + 4*(1/2) 2*x + 2
f(x | Y = ___) = _______________ = _________
2 1 + 4 * (1/2) 3
1/2 2*x + 2 5
P(X ≦ 1/2 | Y = 1/2) = ∫ _________ * dx = ____
0 3 12
It is of interest to note that, in the figure given above, this probability is
given by the ratio of the area of trapezoid ABCD to the area of trapezoid AEFD.
Email: jasonc@mail2000.com.tw . 請尊重原創, 使用圖文時載明出處. 謝謝.
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(Finished)
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